Номер / задача 685 страница 171, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Построение треугольника по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон

Решение. Пусть даны отрезки длиной a, b и h, где a = BC, b = AC — две стороны треугольника ABC, а h = BH — высота, проведённая из вершины B к стороне AC (рис. 1). Необходимо, чтобы h ≤ a (высота не может быть больше стороны, из которой она проведена к противоположной стороне; точнее, h должна допускать построение).

Построим треугольник ABC, в котором BC = a, AC = b, BH = h, где BH ⊥ AC.

Построение:

1. Проведём прямую l — на ней будет лежать сторона AC.

2. Выберем на прямой l произвольную точку H. Проведём прямую p, перпендикулярную l в точке H.

3. На прямой p отложим отрезок HB, равный h. Точка B — вершина треугольника.

4. Проведём окружность с центром B и радиусом a. Пусть она пересекает прямую l в точках и . Тогда .

5. Для каждой из найденных точек C отложим на прямой l от точки C отрезок CA = b, то есть проведём окружность с центром C и радиусом b; точки пересечения этой окружности с прямой l дадут возможные положения точки A.

6. Проведём отрезки AB и BC. Треугольник ABC — искомый.

Доказательство. По построению BC = a, AC = b. Поскольку BH ⊥ l и H лежит на прямой AC, отрезок BH является высотой треугольника ABC, проведённой к стороне AC, и BH = h. Следовательно, треугольник ABC удовлетворяет условию задачи.

Исследование (сколько решений может иметь задача).

• Окружность с центром B и радиусом a пересекает прямую l, если h ≤ a. При h > a задача не имеет решений.

• При h = a точка B проецируется на прямую l так, что окружность касается прямой l в единственной точке C = H. Тогда точка A определяется однозначно (с точностью до симметрии). Задача имеет одно решение.

• При h < a прямая l пересекается окружностью в двух точках и , симметричных относительно H. Для каждой из них точка A может оказаться по одну или другую сторону от H на прямой l. Однако различные расположения точек A и C могут давать равные (симметричные) треугольники. С учётом всех вариантов расположения задача может иметь одно, два или три решения (не считая равных треугольников — до двух решений), в зависимости от соотношения между a, b и h.

В общем случае (при h < a и b > 0) задача имеет два решения (два неравных треугольника, отвечающих различным положениям точки C относительно основания высоты H).

Ответ: задача может иметь два решения, одно решение (при h = a, или когда оба варианта дают равные треугольники) или не иметь решений (при h > a).