Номер / задача 684 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение
Пусть даны отрезок a (сторона), острый угол α (прилежащий к этой стороне) и отрезок h (высота, проведённая к стороне a).
Нужно построить треугольник ABC, в котором BC = a, ∠ B = α, а высота AH, проведённая из вершины A на сторону BC, равна h.
Построение.
Проведём прямую и отложим на ней отрезок BC = a.
Построим угол, равный α, при вершине B, одной стороной которого является луч BC (по алгоритму из параграфа — с помощью циркуля и линейки). Пусть вторая сторона угла — луч BP.
Из точки B на луче BC восстановим перпендикуляр к прямой BC. На этом перпендикуляре (или на параллельной прямой) отложим отрезок, равный h, — проведём прямую l, параллельную BC, на расстоянии h от неё. Для этого: в любой точке прямой BC восстановим перпендикуляр, отложим на нём отрезок длины h и через полученную точку проведём прямую, параллельную BC.
Пусть прямая l пересекает луч BP в точке A.
Соединим точки A и C. Треугольник ABC — искомый.
Доказательство.
По построению BC = a. Угол ∠ ABC = α, так как он был построен равным данному углу. Высота из вершины A на сторону BC — это расстояние от точки A до прямой BC, которое равно h, поскольку точка A лежит на прямой l, проведённой параллельно BC на расстоянии h. Следовательно, треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.
Число решений.
Прямая l пересекает луч BP в одной точке (так как угол α острый и h > 0), поэтому задача имеет единственное решение.
