Номер / задача 683 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Пусть даны отрезок a (сторона), отрезок m (медиана) и угол α (угол между данной стороной и медианой). Требуется построить треугольник ABC, в котором BC = a, BM — медиана к стороне AC (где M — середина AC), и ∠ MBC = α.
План построения. Заметим, что если построить треугольник BCM, то точку A можно найти, продлив отрезок CM за точку M на расстояние CM (так как M — середина AC, то MA = MC).
Итак, сначала построим треугольник BCM по двум сторонам BC = a, BM = m и углу α между ними.
Построение.
Построим угол, равный α, одна из сторон которого — луч BC. Для этого воспользуемся способом, описанным в параграфе (построение угла, равного данному, с помощью циркуля и линейки). Проведём луч BP так, чтобы ∠ PBC = α.
На луче BC отложим отрезок BC = a. Получим точку C.
На луче BP отложим отрезок BM = m. Получим точку M.
Продлим отрезок CM за точку M и отложим на продолжении отрезок MA = MC (проведём окружность с центром M и радиусом MC; она пересечёт продолжение луча CM за точку M в точке A).
Проведём отрезки AB, AC. Треугольник ABC — искомый.
Доказательство.
По построению BC = a — данная сторона. Поскольку MA = MC, точка M является серединой отрезка AC, а значит BM — медиана треугольника ABC, проведённая к стороне AC, и BM = m. Угол между стороной BC и медианой BM равен ∠ MBC = α по построению. Следовательно, треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.
Исследование.
Задача имеет решение при α < 180°. При этом точка M определяется однозначно (по одну сторону от прямой BC), а точка A — однозначно по точке M. Однако угол α можно отложить по обе стороны от луча BC, что даёт два симметричных треугольника. Поскольку они равны (симметричны относительно прямой BC), задача имеет единственное решение.
