Номер / задача 682 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение

Пусть даны отрезок длины a, угол α и отрезок длины l — биссектриса, проведённая из вершины этого угла (рис. 1).

Нужно построить треугольник ABC, в котором BC = a, ∠ B = α, а биссектриса BD = l, где D — точка на стороне AC.

Построение:

1. Отложим отрезок BC = a (проводим прямую и откладываем на ней отрезок BC, равный данному отрезку a).

2. Построим угол ∠ CBX = α при вершине B, одной стороной которого является луч BC (по построению угла, равного данному, с помощью циркуля и линейки — как описано в параграфе).

3. Поскольку BD — биссектриса угла B, проведём биссектрису угла ∠ CBX. Для этого:

   • проведём окружность произвольного радиуса с центром B, отметим точки пересечения со сторонами угла ∠ CBX;
   • построим биссектрису этого угла стандартным способом (с помощью циркуля). Получим луч BP.

4. На луче BP (биссектрисе) отложим отрезок BD = l. Для этого проведём окружность с центром B и радиусом l; точку пересечения этой окружности с лучом BP обозначим D.

5. Через точку D и точку C проведём прямую DC. Пусть эта прямая пересекает луч BX (вторую сторону угла) в точке A.

Треугольник ABC — искомый.

Доказательство:

По построению BC = a, так как отрезок BC равен данному. Угол ∠ ABC = α, так как он построен равным данному углу. Отрезок BD = l лежит на биссектрисе угла B, причём точка D принадлежит стороне AC (прямая DC пересекает сторону BA в точке A, а D лежит между A и C). Следовательно, BD — биссектриса треугольника ABC, проведённая из вершины B, и она равна l.

Исследование:

Задача имеет решение, если луч BX пересекается с прямой CD, то есть если точка D расположена так, что прямая CD пересекает вторую сторону угла. Это выполняется, когда длина биссектрисы l не слишком велика (точка D должна находиться внутри угла на допустимом расстоянии).

Если решение существует, то оно единственное, поскольку все шаги построения определяют единственную конфигурацию (с точностью до выбора полуплоскости, но при фиксированном расположении BC и направлении угла решение одно).

Таким образом, треугольник ABC построен по стороне BC = a, прилежащему углу ∠ B = α и биссектрисе BD = l, проведённой из вершины B.