Номер / задача 681 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение

Пусть дан отрезок длины a (основание) и отрезок длины r (радиус вписанной окружности). Надо построить равнобедренный треугольник ABC, в котором BC = a и радиус вписанной окружности равен r.

Анализ. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC центр вписанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к основанию (он же — высота, медиана и биссектриса из вершины A). Если M — середина BC, то центр вписанной окружности I лежит на прямой AM, причём расстояние от I до прямой BC равно r. Значит IM = r.

Вершина A тоже лежит на серединном перпендикуляре к BC, по ту же сторону от BC, что и I, причём A дальше от BC, чем I.

Чтобы найти положение A, воспользуемся тем, что расстояние от центра вписанной окружности до стороны AB тоже равно r. Опустим перпендикуляр из I на AB — его длина равна r. Это значит, что точка I лежит на окружности радиуса r с центром в любой точке стороны AB, а сторона AB касается окружности с центром I и радиусом r.

План построения:

1. Проведём прямую и отложим на ней отрезок BC = a.

2. Построим середину M отрезка BC (пересечение серединного перпендикуляра с BC).

3. Восставим перпендикуляр к BC в точке M.

4. На этом перпендикуляре отложим отрезок MI = r. Точка I — центр вписанной окружности.

5. Проведём окружность с центром I и радиусом r.

6. Проведём из точки B касательную к этой окружности (ту, что идёт в полуплоскость, где лежит I). Для этого:

   • найдём середину N отрезка BI;
   • проведём окружность с центром N и радиусом NB (окружность на BI как диаметре);
   • эта окружность пересечёт окружность с центром I и радиусом r в точке T;
   • прямая BT — касательная к окружности.

7. Точка пересечения прямой BT с серединным перпендикуляром к BC — это вершина A.

8. Соединим A, B, C. Треугольник ABC — искомый.

Доказательство. По построению BC = a. Поскольку A лежит на серединном перпендикуляре к BC, то AB = AC, т.е. треугольник равнобедренный. Окружность с центром I и радиусом r касается стороны BC (так как IM ⊥ BC и IM = r, а M лежит на BC), касается стороны AB (по построению BT — касательная). По симметрии относительно прямой AM она касается и стороны AC. Значит, эта окружность вписана в треугольник ABC, и её радиус равен r.

Исследование. Задача имеет решение, если касательная из B к окружности существует и пересекает серединный перпендикуляр выше BC, т.е. при BI > r, что равносильно — это выполнено всегда при a > 0. Однако точка A должна лежать по ту же сторону от BC, что и I, и не совпадать с M. Это выполняется при a > 0 и r > 0.

Два симметричных решения (по разные стороны от BC) считаются одним. Задача имеет единственное решение.