Номер / задача 680 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Задача 680
1) По катету и медиане, проведённой к другому катету
Дано: отрезки длиной a (катет BC) и m (медиана BM, проведённая к катету AC).
Нужно построить прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ C = 90°, BC = a, а медиана из вершины B к катету AC равна m.
Построение.
Проведём две перпендикулярные прямые p и q, пересекающиеся в точке C.
На прямой p отложим отрезок CB = a. Получим вершину B.
Заметим, что медиана BM проведена к катету AC, значит M — середина AC. Точка M лежит на прямой q (на которой лежит катет AC).
Проведём окружность с центром B и радиусом m. Пусть она пересечёт прямую q в точках
и 
.Поскольку M — середина AC и C лежит на прямой q, то A — точка на прямой q такая, что CA = 2 · CM. Отложим на прямой q от точки C отрезок CA = 2 · CM (в ту же сторону, что и CM).
Соединим точки A и B. Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. По построению ∠ C = 90°, BC = a. Точка M — середина AC, и BM = m, так как M — точка пересечения окружности радиуса m с центром B и прямой q. Следовательно, медиана из B к катету AC равна m.
Исследование. Окружность с центром B и радиусом m пересечёт прямую q в двух точках, расположенных по разные стороны от C (при m > a). Каждая из них даёт точку A на прямой q, но нам нужна точка A ≠ C, лежащая так, чтобы треугольник существовал (т.е. CM > 0). Два полученных треугольника равны (симметричны относительно прямой p), поэтому задача имеет единственное решение. Задача имеет решение при m > a.
2) По острому углу и высоте, проведённой из вершины прямого угла
Дано: острый угол α и отрезок длиной h (высота CD, проведённая из вершины прямого угла C на гипотенузу AB).
Нужно построить прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ C = 90°, ∠ A = α, CD = h, где CD — высота из C на AB.
Построение.
Построим луч AP и с помощью построения угла, равного данному (см. материал параграфа), отложим от него угол ∠ PAQ = α. Это будет угол A искомого треугольника.
Проведём прямую, содержащую сторону AP (это будет прямая, на которой лежит гипотенуза AB).
Построим прямую, перпендикулярную лучу AP и отстоящую от него на расстояние h. Для этого: отложим на перпендикуляре к AP из какой-либо точки отрезок длиной h, затем через его конец проведём прямую, параллельную AP. Точка пересечения этой прямой с лучом AQ и будет вершина C.
Из точки C опустим перпендикуляр на прямую AP, получим точку D (основание высоты). Точка B — пересечение прямой AP с перпендикуляром к AP, проведённым из C так, чтобы ∠ C = 90°. Для нахождения B: из C проведём перпендикуляр к лучу AQ — он пересечёт прямую AP в точке B.
Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. По построению ∠ A = α. Высота CD ⊥ AB и CD = h. Покажем, что ∠ C = 90°: прямая CB построена перпендикулярно к AC, значит ∠ ACB = 90°.
Исследование. Задача имеет единственное решение (два симметричных треугольника считаются одним решением). Задача разрешима при 0° < α < 90° и h > 0.
