Номер / задача 679 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Задача 679

1) По острому углу и биссектрисе этого угла

Решение. Пусть даны острый угол α и отрезок длины l — биссектриса этого угла. Надо построить прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ C = 90°, ∠ A = α, а биссектриса угла A равна l.

Построение.

1. Построим угол, равный данному углу α, с вершиной в точке A (по способу, описанному в параграфе). Пусть одна сторона угла — луч AP.

2. Проведём биссектрису угла A (с помощью циркуля и линейки). На биссектрисе отложим отрезок AD = l.

3. Через точку D проведём прямую, перпендикулярную биссектрисе AD. Эта прямая пересечёт стороны угла A в точках B и C.

4. Определим, какая из сторон угла даёт прямой угол. Поскольку ∠ A = α — острый угол прямоугольного треугольника, то ∠ B = 90° - α. Построим: на одной стороне угла A отложим луч, а прямой угол должен быть при вершине C.

Уточним построение:

1. Строим луч AK. Откладываем от луча AK угол, равный α (по построению угла, равного данному). Получаем второй луч AM — сторона угла.

2. Строим биссектрису угла KAM. На ней откладываем отрезок AD = l.

3. Через точку D проводим прямую, перпендикулярную одной из сторон угла, скажем перпендикулярную к AM. Пусть основание перпендикуляра — точка C на луче AM. Тогда ∠ ACB = 90° не обязательно.

Перестроим рассуждение. Пусть ∠ A = α, ∠ C = 90°, тогда ∠ B = 90° - α.

1. Строим луч AP. От него откладываем угол α — получаем луч AQ. Сторона AC лежит на одном луче, AB — на другом.

2. Строим биссектрису угла A. На биссектрисе от точки A откладываем отрезок AD = l.

3. Из точки D опускаем перпендикуляр на луч AQ (на сторону AC). Основание перпендикуляра — точка C. Тогда ∠ ACD = 90°.

4. Прямая CD пересекает луч AP (сторону AB) в точке B.

Треугольник ABC — искомый.

Доказательство. По построению ∠ A = α, биссектриса угла A равна AD = l. Угол ACD = 90°, значит ∠ ACB = 90°, то есть треугольник ABC — прямоугольный.

Исследование. Задача имеет единственное решение (с точностью до равенства треугольников), так как перпендикуляр из D на сторону угла определяется однозначно.

2) По катету и высоте, проведённой к гипотенузе

Решение. Пусть даны отрезки длины a (катет BC) и h (высота CD, проведённая из вершины прямого угла C к гипотенузе AB). Надо построить прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ C = 90°, BC = a, CD = h.

Построение.

1. Проведём прямую p (будущая гипотенуза). Отметим на ней точку D.

2. В точке D восстановим перпендикуляр к прямой p. На этом перпендикуляре от точки D отложим отрезок DC = h. Получим точку C.

3. Проведём окружность с центром в точке C и радиусом, равным a. Эта окружность пересечёт прямую p в двух точках и (при условии a > h, что выполняется, так как катет больше высоты к гипотенузе).

4. Через точку C проведём прямую, перпендикулярную к (или ). Эта прямая пересечёт прямую p в точке A.

Треугольник (или ) — искомый.

Доказательство. По построению ∠ C = 90° (так как CA ⊥ CB), значит треугольник ABC — прямоугольный. Катет BC = a (как радиус окружности). Отрезок CD ⊥ AB и CD = h, то есть CD — высота, проведённая к гипотенузе, равная h.

Исследование. Задача имеет решение при h < a (высота к гипотенузе всегда меньше катета). Поскольку оба построенных треугольника (для и ) равны (симметричны относительно перпендикуляра), задача имеет единственное решение.