Номер / задача 678 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть дан отрезок AB, длина которого в несколько раз больше наибольшего раствора циркуля r.

Идея состоит в том, чтобы свести задачу к построению серединного перпендикуляра, но поскольку мы не можем провести окружности радиуса из точек A и B (раствора циркуля не хватает), действуем иначе.

Построение:

1. Проведём через точку A произвольную прямую, не совпадающую с AB. На этой прямой, начиная от точки A, последовательно откладываем циркулем несколько равных отрезков произвольной длины d (где d ≤slant r), получая точки , так что .

2. Аналогично проведём через точку B произвольную прямую и отложим на ней от точки B столько же равных отрезков той же длины d, получая точки , причём , и точки расположены по ту же сторону от прямой AB, что и точки .

   (Удобнее всего: из точки A откладываем отрезки по одну сторону от AB, а из точки B — по ту же сторону.)

   Но проще воспользоваться следующим классическим способом:

3. Проведём из точки A луч AP под произвольным углом к AB. Откладываем на нём от A подряд 2n равных отрезков длины d ≤slant r (число 2n — чётное, выбираем так, чтобы было удобно). Получаем точки .

4. Проведём прямую .

5. Через точку (середину ломаной из 2n отрезков) проведём прямую, параллельную . Для этого строим угол при точке , равный углу , используя метод из параграфа (построение угла, равного данному, — с помощью циркуля малого раствора это возможно, так как углы копируются дугами малого радиуса).

6. Эта прямая пересечёт отрезок AB в точке M.

Доказательство. По теореме Фалеса: если прямая, параллельная стороне треугольника , проходит через середину стороны (то есть через точку , так как ), то она пересекает сторону AB в её середине. Значит, AM = MB.

Число решений. Середина отрезка единственна, поэтому задача имеет единственное решение.