Номер / задача 677 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть дан острый угол с вершиной A и сторонами p и q, точка O на стороне p и отрезок длины d (рис. 1). Надо построить окружность с центром O, которая пересекает сторону q в двух точках M и N так, что MN = d.

Анализ. Предположим, что искомая окружность построена. Она пересекает сторону q угла в точках M и N, причём MN = d. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из центра O на прямую q (сторону угла). Тогда H — середина отрезка MN (так как перпендикуляр из центра окружности на хорду делит хорду пополам). Значит .

Если радиус окружности равен r, то OM = ON = r. Из прямоугольного треугольника OHM:

Отсюда следует план построения: сначала найдём расстояние OH от точки O до прямой q, а затем определим радиус r.

Построение.

1. Из точки O проведём перпендикуляр к стороне q угла. Пусть H — основание этого перпендикуляра (точка пересечения перпендикуляра со стороной q).

2. На стороне q от точки H отложим отрезок (для этого делим отрезок d пополам с помощью циркуля и линейки — строим серединный перпендикуляр к отрезку длины d).

3. Проведём окружность с центром O и радиусом OM.

Эта окружность пересечёт сторону q в точках M и N.

Доказательство. Поскольку OH ⊥ q, перпендикуляр из центра окружности на хорду MN попадает в точку H, значит H — середина хорды MN. Тогда:

Следовательно, окружность отсекает на стороне q отрезок длины d, что и требовалось.

Исследование. Задача имеет решение, если окружность действительно пересекает сторону q в двух точках, то есть радиус r = OM должен быть больше расстояния OH от точки O до прямой q. Это выполняется при , т.е. при d > 0, что дано по условию. Также нужно, чтобы обе точки M и N лежали на стороне (луче) q, а не на его продолжении; это зависит от взаимного расположения O и угла.

Задача имеет единственное решение (окружность с центром O и радиусом ).