Номер / задача 676 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть дан отрезок длины c — гипотенуза искомого треугольника (рис. 1). Надо построить равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ C = 90°, AB = c, CA = CB.

План построения:

1. Отложим отрезок AB = c.
2. Построим середину M отрезка AB (с помощью циркуля и линейки — пересечение двух дуг радиуса c с центрами A и B даёт две точки, прямая через которые пересекает AB в середине M).
3. Проведём окружность с центром M и радиусом MA. Эта окружность проходит через точки A и B.
4. Пусть окружность пересекает серединный перпендикуляр отрезка AB в точках и .
5. Проведём отрезки , (или , ).

Построение:

Проводим отрезок AB = c. Строим серединный перпендикуляр отрезка AB: проводим две дуги радиуса c с центрами A и B, через точки их пересечения проводим прямую — она пересекает AB в точке M. Проводим окружность с центром M и радиусом . Эта окружность пересекает серединный перпендикуляр в точках и . Соединяем A и B с точкой (или ).

Доказательство. Точка лежит на окружности с диаметром AB, поэтому (угол, вписанный в полуокружность, — прямой). Точка лежит на серединном перпендикуляре отрезка AB, поэтому . Значит, треугольник — прямоугольный и равнобедренный с гипотенузой AB = c. Аналогично для треугольника .

Число решений. Треугольники и равны (симметричны относительно прямой AB), поэтому задача имеет единственное решение.