Номер / задача 675 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Задача 675
1) По боковой стороне и углу при основании
Решение. Пусть даны отрезок длины a (боковая сторона) и угол α (угол при основании). Надо построить равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC = a, ∠ A = α.
Построение.
Построим угол, равный α, с вершиной в точке A (используя способ построения угла, равного данному, описанный в параграфе). Одна сторона угла — луч AK.
На другой стороне построенного угла отложим отрезок AB = a. Получим точку B.
Проведём окружность с центром B и радиусом a. Она пересечёт луч AK в точке C.
Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. По построению AB = a, ∠ A = α. Так как BC = a = AB, треугольник ABC — равнобедренный с боковой стороной a и углом α при основании.
Исследование. Окружность с центром B и радиусом a пересечёт луч AK в одной точке (при α < 90°), поэтому задача имеет единственное решение.
2) По боковой стороне и высоте, проведённой к основанию
Решение. Пусть даны отрезки длины a (боковая сторона) и h (высота к основанию), причём h < a. Надо построить равнобедренный треугольник ABC с AB = BC = a, в котором BD — высота к основанию AC, BD = h.
Построение.
Проведём прямую m и отметим на ней точку D.
Через точку D проведём прямую n, перпендикулярную прямой m.
На прямой n отложим отрезок DB = h. Получим точку B.
Проведём окружность с центром B и радиусом a. Она пересечёт прямую m в двух точках A и C.
Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. По построению BD ⊥ AC и BD = h. Так как BA = BC = a (радиусы одной окружности), треугольник ABC — равнобедренный. Высота BD, проведённая к основанию AC, равна h.
Исследование. Окружность пересечёт прямую m в двух точках A и C, симметричных относительно D (так как BD ⊥ m). Получается один треугольник, поэтому задача имеет единственное решение (при условии h < a; при h = a треугольник вырождается, при h > a решений нет).
