Номер / задача 674 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Задача 674

1) По высоте, опущенной на основание, и углу при вершине

Решение. Пусть дан отрезок длины h (высота) и угол α (угол при вершине). Надо построить равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC — боковые стороны, AC — основание, BD — высота к основанию (BD = h), ∠ ABC = α.

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также биссектрисой угла при вершине. Значит, .

Построение:

1. Строим угол, равный данному углу α, — получаем угол ABC с вершиной B.
2. Проводим биссектрису BD угла ABC.
3. На биссектрисе BD откладываем отрезок BD = h.
4. Через точку D проводим прямую, перпендикулярную BD.
5. Эта прямая пересекает стороны угла ABC в точках A и C.

Треугольник ABC — искомый.

Доказательство. По построению ∠ ABC = α, а BD — биссектриса и высота. Поскольку BD ⊥ AC и BD — биссектриса угла B, треугольники ABD и CBD равны по стороне и двум прилежащим углам, значит AB = CB, то есть треугольник равнобедренный. Высота BD = h по построению.

Задача имеет единственное решение.

2) По основанию и медиане, проведённой к основанию

Решение. Пусть даны отрезки длины a (основание) и m (медиана к основанию). Надо построить равнобедренный треугольник ABC, где AC = a, AB = BC, BM — медиана к AC, BM = m.

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также перпендикуляром к основанию и проходит через середину основания.

Построение:

1. Проводим отрезок AC = a.
2. Делим отрезок AC пополам — получаем точку M (середину AC). Для этого строим две окружности одинакового радиуса с центрами A и C; прямая через точки их пересечения проходит через M.
3. Через точку M проводим прямую, перпендикулярную AC.
4. На этой прямой откладываем отрезок MB = m.
5. Проводим отрезки AB и CB.

Треугольник ABC — искомый.

Доказательство. По построению AC = a, BM = m, M — середина AC, BM ⊥ AC. Тогда BM — медиана к основанию. Так как BM ⊥ AC и AM = MC, то AB = CB (по равенству прямоугольных треугольников ABM и CBM), значит треугольник равнобедренный.

Задача имеет единственное решение (точка B может быть по обе стороны от AC, но получаются равные треугольники).

3) По основанию и высоте, проведённой к боковой стороне

Решение. Пусть даны отрезки длины a (основание AC) и h (высота из A на боковую сторону BC, то есть AH = h, где H — основание высоты на BC). Надо построить равнобедренный треугольник ABC, где AC = a, AB = BC.

Построение:

1. Проводим отрезок AC = a.
2. Через точку A проводим окружность радиуса h.
3. Находим середину M отрезка AC и проводим серединный перпендикуляр к AC (вершина B равнобедренного треугольника лежит на нём).
4. Из точки A нужно провести высоту длины h на сторону BC. Для этого: проводим прямую через C и произвольную точку B' на серединном перпендикуляре. Но удобнее поступить так:

Вершина B лежит на серединном перпендикуляре к AC. Расстояние от точки A до прямой BC равно h. Прямая BC проходит через C.

5. Проводим окружность с центром A и радиусом h. Проводим касательную из точки C к этой окружности — это будет прямая BC (расстояние от A до прямой BC равно h).
6. Точка пересечения этой касательной с серединным перпендикуляром к AC даёт вершину B.

Построение касательной из C к окружности с центром A радиуса h:

• Находим середину N отрезка AC.
• Строим окружность с центром N и радиусом .
• Эта окружность пересекает окружность с центром A и радиусом h в точках P и P'.
• Прямые CP и CP' — касательные к окружности радиуса h.

7. Пересечение прямой CP (или CP') с серединным перпендикуляром к AC даёт точку B.

Треугольник ABC — искомый.

Доказательство. По построению AC = a. Точка B лежит на серединном перпендикуляре к AC, значит AB = CB, то есть треугольник равнобедренный. Прямая BC касается окружности с центром A и радиусом h, значит расстояние от A до прямой BC равно h, то есть высота из A на боковую сторону BC равна h.

Задача может иметь два решения (две касательные из C), но они дают равные треугольники (симметричные относительно прямой AC), поэтому задача имеет единственное решение.