Номер / задача 673 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны отрезок длины a (катет) и острый угол α (рис. 1). Надо построить прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ C = 90°, BC = a и ∠ A = α.

Построение.

1. Построим угол, равный данному углу α, используя способ, описанный в параграфе (с помощью циркуля и линейки). Пусть построен угол ∠ DAE = α с вершиной A.

2. На одной из сторон построенного угла (луч AE) нужно найти точку C такую, чтобы ∠ ACB = 90°. Для этого из точки A на стороне AD восстановим следующее построение: из произвольной точки на луче AE опустим перпендикуляр к лучу AD… Поступим иначе — построим более прямолинейно.

Перестроим план:

1. Проведём прямую и отложим на ней отрезок BC = a.

2. В точке C построим перпендикуляр к прямой BC (с помощью циркуля и линейки — стандартное построение). Получим прямую p ⊥ BC.

3. Построим угол, равный данному углу α, с вершиной в точке B, так чтобы одна сторона этого угла совпадала с лучом BC, а другая сторона шла внутрь полуплоскости, в которой проведён перпендикуляр p. Вторая сторона построенного угла пересечёт прямую p в некоторой точке A.

4. Треугольник ABC — искомый.

Доказательство.

По построению BC = a, ∠ C = 90° (так как CA лежит на перпендикуляре к BC), ∠ B = α (так как угол при вершине B построен равным данному углу α). Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный с катетом BC = a и противолежащим углу α катетом, то есть ∠ A = 90° - α, а ∠ B = α — острый угол, противолежащий катету AC. Значит, ∠ ABC = α — угол, противолежащий другому катету.

Уточним: угол α противолежит катету AC, а катет BC = a противолежит углу A. По условию нужно, чтобы катет a и противолежащий ему острый угол α были заданы. Тогда ∠ A = α, и построение следует скорректировать:

1. Отложим отрезок BC = a.
2. В точке C построим перпендикуляр к BC — прямую p.
3. Построим угол, равный α, с вершиной в точке B: одна сторона — луч BA (который нужно найти). Но нам нужен угол A = α, поэтому строим угол при вершине, которая ещё не найдена.

Окончательный план:

1. Строим угол, равный α, с вершиной A. Одна сторона — луч AM.
2. На луче AM откладываем произвольную точку, из неё опускаем перпендикуляр на другую сторону угла — получаем точку C (основание перпендикуляра). Но длина катета BC должна быть равна a.

Наиболее простой план:

1. Проведём прямую m и отложим на ней отрезок BC = a.
2. В точке C восстановим перпендикуляр p к прямой m.
3. В точке B построим угол, равный (90° - α), с лучом BC в качестве одной стороны. Вторая сторона пересечёт прямую p в точке A.

Тогда ∠ C = 90°, BC = a, ∠ B = 90° - α, значит ∠ A = α — противолежащий катету BC = a.

Доказательство. В треугольнике ABC: ∠ C = 90° (по построению), BC = a (по построению), ∠ B = 90° - α (по построению). Тогда ∠ A = 180° - 90° - (90° - α) = α. Угол ∠ A = α противолежит катету BC = a. Треугольник ABC — искомый.

Исследование. Перпендикуляр p пересекается со второй стороной угла в двух точках (по разные стороны от BC), но получающиеся треугольники равны. Задача имеет единственное решение.