Номер / задача 672 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение. Пусть даны отрезок длины c и острый угол α (рис. 1). Надо построить прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ C = 90°, AB = c, ∠ A = α.
Построение.
Построим угол, равный данному углу α, с вершиной в точке A, используя способ, описанный в параграфе (с помощью циркуля и линейки). Одну сторону построенного угла обозначим лучом AM.
На другой стороне угла α отложим отрезок AB = c (проведём окружность с центром A радиуса c; точку пересечения окружности со стороной угла обозначим B).
Из точки B опустим перпендикуляр на луч AM. Для этого проведём окружность с центром B достаточно большого радиуса, пересекающую луч AM в двух точках P и Q. Затем проведём две окружности равного радиуса с центрами P и Q; они пересекутся в двух точках. Прямая через эти две точки — серединный перпендикуляр к PQ, который проходит через B и пересекает луч AM в точке C.
Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. В треугольнике ABC по построению:
- ∠ A = α (угол построен равным данному);
- AB = c (отрезок отложен по окружности радиуса c);
- ∠ C = 90° (точка C — основание перпендикуляра из B на сторону угла).
Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный с гипотенузой AB = c и острым углом ∠ A = α, что и требовалось.
Число решений. Перпендикуляр из точки B на луч AM единственный, и основание C лежит на луче AM (так как α — острый угол). Поэтому задача имеет единственное решение.
