Номер / задача 671 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение
Пусть дан угол с вершиной O и сторонами a и b, а на стороне a дана точка M — точка касания (рис. 1).
Нужно построить окружность, которая касается стороны a в точке M и касается стороны b.
Анализ. Если окружность касается прямой в точке M, то центр окружности лежит на перпендикуляре к стороне a, проведённом в точке M. Если окружность касается обеих сторон угла, то её центр равноудалён от сторон угла, а значит, лежит на биссектрисе угла O. Следовательно, центр искомой окружности — это точка пересечения перпендикуляра к стороне a в точке M и биссектрисы угла O.
Построение.
Построим биссектрису угла O (с помощью циркуля и линейки, как описано в параграфе).
В точке M восставим перпендикуляр p к стороне a.
Пусть Q — точка пересечения биссектрисы угла O и перпендикуляра p.
Проведём окружность с центром Q и радиусом QM.
Доказательство. Поскольку точка Q лежит на биссектрисе угла O, она равноудалена от сторон a и b. Расстояние от Q до стороны a равно QM (так как QM ⊥ a). Значит, расстояние от Q до стороны b тоже равно QM. Следовательно, окружность с центром Q и радиусом QM касается стороны a в точке M и касается стороны b.
Исследование. Биссектриса угла O и перпендикуляр к стороне a в точке M всегда пересекаются в одной точке (при M ≠ O), поскольку биссектриса не параллельна перпендикуляру к стороне. Таким образом, задача имеет единственное решение.
Задача имеет одно решение.
