Номер / задача 670 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть дан угол BAC = 30° и отрезок радиуса r. Надо построить окружность радиуса r с центром на одной стороне угла, касающуюся другой стороны.

Окружность касается прямой тогда и только тогда, когда расстояние от центра до этой прямой равно радиусу. Расстояние от центра до прямой — это длина перпендикуляра. Пусть центр окружности — точка O, лежащая на луче AB, а окружность касается луча AC. Тогда расстояние от O до прямой AC равно r.

Если O лежит на луче AB на расстоянии d = AO от вершины A, то расстояние от O до прямой AC равно .

Условие касания: , откуда d = 2r.

Построение.

1. На луче AB от точки A отложим отрезок AO = 2r (с помощью циркуля: откладываем отрезок r дважды, т.е. строим точку P такую, что AP = r, затем от P откладываем ещё r и получаем точку O с AO = 2r).

2. Проведём окружность с центром O и радиусом r.

Доказательство. Опустим перпендикуляр OH из точки O на прямую AC. В прямоугольном треугольнике AOH имеем ∠ A = 30°, AO = 2r. Тогда . Значит, расстояние от центра O до прямой AC равно r, т.е. окружность касается стороны AC.

Исследование. Центр можно выбрать и на другой стороне угла: если центр O' лежит на луче AC, а окружность касается луча AB, то аналогично AO' = 2r. Таким образом, задача имеет два решения (по одному для каждой стороны угла в качестве стороны, содержащей центр).

Задача имеет два решения.