Номер / задача 669 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение. Пусть дан угол с вершиной A и сторонами p и q (рис. 1). Надо построить окружность, касающуюся обеих сторон этого угла.
Анализ. Центр окружности, касающейся обеих сторон угла, должен быть равноудалён от этих сторон. Значит, центр лежит на биссектрисе угла A. Если мы выберем на биссектрисе произвольную точку O, а затем опустим из неё перпендикуляр на одну из сторон угла, то получим радиус искомой окружности.
Построение.
Проведём биссектрису угла A. Для этого построим окружность произвольного радиуса r с центром в точке A. Пусть она пересекает стороны p и q в точках B и C соответственно. Затем построим окружности равного радиуса с центрами в точках B и C. Пусть они пересекаются в точке D (внутри угла). Проведём луч AD — это биссектриса угла A.
Выберем на луче AD произвольную точку O (отличную от A).
Опустим перпендикуляр из точки O на сторону p. Для этого проведём окружность с центром O достаточно большого радиуса, пересекающую сторону p в двух точках P и Q. Построим серединный перпендикуляр к отрезку PQ — он пройдёт через точку O и пересечёт сторону p в точке H. Отрезок OH — перпендикуляр из O на сторону p.
Проведём окружность с центром O и радиусом OH.
Доказательство. Точка O лежит на биссектрисе угла A, поэтому она равноудалена от сторон p и q. Значит, расстояние от O до стороны q тоже равно OH. Следовательно, окружность с центром O и радиусом OH касается обеих сторон угла (расстояние от центра до каждой прямой равно радиусу).
Число решений. Поскольку точку O можно выбрать в любом месте биссектрисы (кроме вершины A), задача имеет бесконечно много решений — для каждой точки биссектрисы получается своя окружность, касающаяся обеих сторон угла.
