Номер / задача 668 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Построение прямой, отсекающей на сторонах угла равные отрезки
Дано: угол с вершиной O и точка M, принадлежащая этому углу.
Требуется: провести через точку M прямую, отсекающую на сторонах угла равные отрезки от вершины.
Решение.
Нужно построить на сторонах угла точки A и B такие, что OA = OB и точка M лежит на отрезке AB.
План построения:
На одной стороне угла (луч OP) отложим от вершины O произвольный отрезок OA'. На другой стороне угла (луч OQ) отложим отрезок OB' = OA' (с помощью циркуля).
Проведём прямую A'B'. Треугольник OA'B' — равнобедренный (OA' = OB').
Через точку M проведём прямую, параллельную A'B'. Для этого воспользуемся построением: построим угол при стороне OP, равный углу OA'B', с вершиной в точке пересечения искомой прямой со стороной угла. Однако удобнее поступить так:
— Построим биссектрису угла O (с помощью циркуля и линейки).
— Опустим из точки M перпендикуляр на биссектрису, получим точку H.
— Отложим на биссектрисе от H по другую сторону от M отрезок HM' = HM, то есть построим точку M', симметричную M относительно биссектрисы.
Но проще использовать следующий подход.
Упрощённый план построения:
Построим биссектрису OL угла O (проведём окружность с центром O, отметим точки пересечения со сторонами, построим серединный перпендикуляр к хорде — стандартная конструкция).
Из точки M опустим перпендикуляр на биссектрису OL. Пусть H — основание перпендикуляра.
На перпендикуляре по другую сторону от H отложим отрезок HM' = HM. Точка M' симметрична точке M относительно биссектрисы.
Проведём прямую MM'. Она пересечёт стороны угла в точках A и B.
Доказательство. Биссектриса угла является осью симметрии угла. Точка M' симметрична точке M относительно биссектрисы, значит прямая MM' перпендикулярна биссектрисе. Поскольку биссектриса — ось симметрии, при отражении относительно неё одна сторона угла переходит в другую, а прямая MM' переходит в себя (она перпендикулярна оси). Поэтому точка A (пересечение с одной стороной) переходит в точку B (пересечение с другой стороной), откуда OA = OB.
Точка M лежит на прямой AB по построению.
Исследование. Задача имеет единственное решение, если точка M не лежит на биссектрисе. Если M лежит на биссектрисе, то любая прямая через M, перпендикулярная биссектрисе, даёт решение — и оно единственно (перпендикуляр через данную точку единственный).
Ответ: через точку M проводим прямую, перпендикулярную биссектрисе угла. Эта прямая отсекает на сторонах угла равные отрезки OA = OB. Задача имеет единственное решение.
