Номер / задача 667 страница 170, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть дана прямая l и точка A, не принадлежащая этой прямой (рис. 1). Надо провести через точку A прямую, параллельную прямой l.

План построения. Воспользуемся тем, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные (или накрест лежащие) углы равны, то прямые параллельны. Сведём задачу к уже решённой — построению угла, равного данному.

Построение.

1. Отметим на прямой l произвольную точку B. Проведём прямую AB (рис. 2). Прямая AB — секущая.

2. Прямая AB образует с прямой l угол ABD, где D — какая-либо точка прямой l по одну сторону от B (рис. 2).

3. Построим угол, равный углу ABD, с вершиной в точке A и стороной AB, откладывая его по другую сторону от прямой AB (чтобы получились равные накрест лежащие углы). Для этого:

   • Проведём окружность произвольного радиуса r с центром в точке B. Обозначим точки её пересечения с лучами BA и BD как P и Q соответственно.

   • Проведём окружность того же радиуса r с центром в точке A. Обозначим точку её пересечения с лучом AB (по ту сторону от A, что и B... нет — по другую сторону) как M, то есть точку пересечения с лучом AB за точку A (от B): AM = r, причём M лежит на луче AB так, что A — между M и B...

   Поступим точнее: проведём окружность радиуса r с центром A. Она пересечёт луч AB в точке M (так что AM = r и M лежит на отрезке AB или на его продолжении — берём точку на луче от A к B): AM = r.

   • Проведём окружность радиуса PQ с центром в точке M. Она пересечёт окружность с центром A в точке E (выбираем E по ту сторону от прямой AB, которая противоположна точке D, чтобы углы были накрест лежащими).

4. Проведём прямую AE. Это и есть искомая прямая.

Доказательство. Рассмотрим треугольники BPQ и AME. По построению:

Следовательно, △ BPQ = △ AME по трём сторонам. Отсюда ∠ MAE = ∠ PBQ, то есть ∠ BAE = ∠ ABD.

Углы ∠ ABD и ∠ BAE — накрест лежащие при секущей AB и прямых l и AE, и они равны. Значит, прямая AE параллельна прямой l.

Исследование. Точка E выбирается по ту сторону от прямой AB, которая противоположна точке D, — это даёт равные накрест лежащие углы. Вторая точка пересечения окружностей даёт угол по ту же сторону, что соответствует равным соответственным углам и также приводит к той же самой параллельной прямой. Таким образом, задача имеет единственное решение — через данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной.