Номер / задача 666 страница 169, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение

Заметим, что угол 60° легко построить — это угол равностороннего треугольника. Далее, последовательно проводя биссектрисы, можно получить нужные углы.

1) Построение угла 30°

Угол 60° — это угол равностороннего треугольника. Разделив его пополам биссектрисой, получим угол 30°.

Построение:

1. Проведём луч OA.
2. Построим окружность произвольного радиуса r с центром в точке O. Пусть она пересекает луч OA в точке M.
3. Построим окружность того же радиуса r с центром в точке M. Пусть она пересекает первую окружность в точке N (по ту сторону от луча OA, которая нам нужна).
4. Тогда ∠ MON = 60°, так как треугольник OMN — равносторонний (OM = ON = MN = r).
5. Проведём биссектрису угла MON: построим окружности равного радиуса с центрами в точках M и N, их точку пересечения обозначим P. Луч OP — биссектриса.
6. Тогда .

Доказательство. Треугольник OMN равносторонний, поэтому ∠ MON = 60°. Биссектриса делит угол пополам, значит ∠ MOP = 30°.

2) Построение угла 22°30'

Заметим, что , а .

Построение:

1. Построим угол 60° (как в пункте 1).
2. Построим биссектрису угла 60° — получим угол 30°.
3. Отложим от того же луча угол 60° и угол 30° — разность даёт 30°. Но проще поступить иначе.

Действуем так:

1. Построим прямой угол 90°: проведём отрезок и восставим к нему перпендикуляр (с помощью циркуля и линейки).
2. Проведём биссектрису угла 90° — получим угол 45°.
3. Проведём биссектрису угла 45° — получим угол 22°30'.

Доказательство. Прямой угол равен 90°. Первая биссектриса даёт . Вторая биссектриса даёт .

3) Построение угла 15°

Заметим, что .

Построение:

1. Построим угол 60° (с помощью равностороннего треугольника, как в пункте 1).
2. Проведём биссектрису угла 60° — получим угол 30°.
3. Проведём биссектрису угла 30° — получим угол 15°.

Доказательство. Угол 60° построен как угол равностороннего треугольника. Первая биссектриса даёт . Вторая биссектриса даёт .

Во всех трёх случаях задача имеет единственное решение (с точностью до выбора стороны от луча).