Номер / задача 665 страница 169, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Построение углов

1) Угол 45°

Решение. Заметим, что 45° = 90° / 2. Поэтому сначала построим прямой угол, а затем проведём его биссектрису.

Построение:

1. Проведём прямую l и отметим на ней точку O.
2. Построим перпендикуляр к прямой l в точке O (получим прямой угол 90°).
3. Проведём биссектрису полученного прямого угла.

Построение перпендикуляра: Проведём окружность произвольного радиуса r с центром O. Она пересечёт прямую l в точках A и B. Проведём две окружности одинакового радиуса с центрами A и B. Они пересекутся в точке P. Луч OP перпендикулярен l, то есть ∠ AOP = 90°.

Построение биссектрисы угла AOP: Проведём окружность радиуса с центром O. Она пересечёт лучи OA и OP в точках M и N. Проведём две окружности радиуса MN с центрами M и N. Они пересекутся в точке Q внутри угла. Луч OQ — биссектриса.

Тогда ∠ AOQ = 45°.

2) Угол 60°

Решение. Угол 60° — это угол равностороннего треугольника.

Построение:

1. Проведём луч OK.
2. Проведём окружность произвольного радиуса r с центром O. Она пересечёт луч OK в точке A.
3. Проведём окружность того же радиуса r с центром A. Она пересечёт первую окружность в точке B.
4. Проведём луч OB.

Доказательство. Треугольник OAB — равносторонний, так как OA = OB = AB = r. Следовательно, ∠ AOB = 60°.

3) Угол 75°

Решение. Заметим, что 75° = 60° + 15°. Но удобнее: 75° = 45° + 30°, или ещё проще: 75° = (60° + 90°)/2.

Построим угол 60° (как в пункте 2) и прямой угол 90° от того же луча, а затем проведём биссектрису угла между лучами 60° и 90°.

Построение:

1. Проведём луч OK и построим угол ∠ MOK = 60° (как в пункте 2).
2. Построим угол ∠ NOK = 90° (перпендикуляр к OK в точке O, как в пункте 1).
3. Проведём биссектрису угла MON. Угол MON = 90° - 60° = 30°.
4. Биссектриса делит его пополам: 15°.

Тогда угол между лучом OK и биссектрисой равен 60° + 15° = 75°.

4) Угол 120°

Решение. Заметим, что 120° = 2 · 60°.

Построение:

1. Проведём луч OK и построим угол ∠ MOK = 60° (как в пункте 2).
2. Теперь от луча OM отложим ещё один угол, равный 60°, по ту же сторону. Для этого проведём окружность радиуса r с центром O, обозначим точку пересечения с лучом OM как A'. Проведём окружность радиуса r с центром A'. Она пересечёт первую окружность в точке E (по другую сторону от OK).
3. Проведём луч OE.

Доказательство. ∠ MOE = 60° (по построению, аналогично пункту 2). Тогда ∠ EOK = ∠ MOK + ∠ MOE = 60° + 60° = 120°.

Задача имеет единственное решение (с точностью до выбора полуплоскости).