Номер / задача 661 страница 169, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Построение прямоугольного треугольника

1) По двум катетам

Решение. Пусть даны два отрезка, длины которых равны a и b (это катеты искомого треугольника). Надо построить прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ C = 90°, BC = a, AC = b.

Проведём две перпендикулярные прямые m и n. Пусть C — точка их пересечения. На прямой m отложим отрезок CA, равный b. На прямой n отложим отрезок , равный a.

Треугольник — искомый.

Доказательство. По построению ∠ C = 90° (прямые m и n перпендикулярны), AC = b, . Следовательно, треугольник — прямоугольный с катетами a и b.

Отрезок можно отложить и в другую сторону по прямой n. Треугольники и равны, поэтому задача имеет единственное решение.

2) По катету и прилежащему острому углу

Решение. Пусть даны отрезок длины a (катет) и угол α (прилежащий к нему острый угол). Надо построить прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ C = 90°, BC = a, ∠ B = α.

Построение. Проведём луч BK. Построим угол α при точке B (по способу, описанному в параграфе: построение угла, равного данному). На луче BK отложим отрезок BC = a. Из точки C восстановим перпендикуляр к прямой BK. Пусть этот перпендикуляр пересечёт вторую сторону угла α в точке A.

Треугольник ABC — искомый.

Доказательство. По построению ∠ B = α, BC = a, ∠ C = 90° (перпендикуляр). Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный с катетом a и прилежащим к нему острым углом α.

Перпендикуляр из точки C пересекает вторую сторону угла в единственной точке, поэтому задача имеет единственное решение.