Номер / задача 660 страница 169, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение. Дана окружность с центром O и точка A на этой окружности (рис. 1). Надо построить прямую, проходящую через точку A и касательную к окружности.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Значит, нужно через точку A провести прямую, перпендикулярную прямой OA.
Построение:
Проведём прямую OA.
Построим окружность произвольного радиуса r с центром в точке A. Пусть она пересекает прямую OA в точках P и Q (так что AP = AQ = r).
Построим окружность радиуса PQ с центром в точке P и окружность радиуса PQ с центром в точке Q. Пусть эти окружности пересекаются в точках D и E.
Проведём прямую DE. Эта прямая и есть искомая касательная.
Доказательство. Точки P и Q расположены на прямой OA симметрично относительно точки A (так как AP = AQ = r). Окружности с центрами P и Q одинакового радиуса PQ пересекаются в точках D и E. Поскольку PD = QD и PE = QE, точки D и E равноудалены от P и Q, то есть лежат на серединном перпендикуляре отрезка PQ. Середина отрезка PQ — это точка A. Следовательно, прямая DE проходит через точку A и перпендикулярна прямой OA.
Так как OA — радиус окружности, а прямая DE перпендикулярна радиусу в точке A, лежащей на окружности, то прямая DE является касательной к окружности в точке A.
Число решений. Через данную точку окружности можно провести единственную касательную (перпендикуляр к радиусу в данной точке единственный). Задача имеет одно решение.
