Номер / задача 659 страница 169, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны прямая l, точка A на этой прямой и отрезок длины r (данный радиус). Надо построить окружность радиуса r, касающуюся прямой l в точке A.

Известно, что если окружность касается прямой, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Значит, центр искомой окружности лежит на перпендикуляре к прямой l, проведённом через точку A, на расстоянии r от точки A.

Построение.

1. Через точку A проведём прямую p, перпендикулярную прямой l.

2. На прямой p отложим от точки A отрезок AO, равный r (с помощью циркуля). Прямая p пересекает плоскость по обе стороны от l, поэтому получим две точки и .

3. Проведём окружность с центром (или ) и радиусом r.

Доказательство. Так как и , то точка A лежит на окружности с центром и радиусом r. Поскольку радиус, проведённый в точку A, перпендикулярен прямой l, то прямая l является касательной к окружности в точке A. Аналогично для окружности с центром .

Число решений. Перпендикуляр к прямой l в точке A пересекает плоскость по обе стороны от l, давая две точки и . Получаем две окружности, симметричные относительно прямой l. Задача имеет два решения.