User Name N
ГДЗ 7 класс Геометрия Мерзляк, Полонский, Якир Номер 657

Номер / задача 657 страница 169, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Начертите треугольник $ABC$. Постройте его: 1) высоту $AM$; 2) медиану $BD$; 3) биссектрису $CK$.

Решение

Начертим произвольный треугольник ABC и выполним три построения с помощью циркуля и линейки.

1) Высота AM

Высота AM — это перпендикуляр, проведённый из вершины A на прямую BC.

Построение:

  • Проведём окружность с центром в точке A произвольного радиуса, достаточно большого, чтобы она пересекла прямую BC в двух точках P и Q.
  • Проведём две окружности одинакового радиуса с центрами в точках P и Q. Пусть они пересекутся в точках и .
  • Проведём прямую через и . Она пересечёт прямую BC в точке M.
  • Проведём отрезок AM — это и есть искомая высота.

Точка M лежит на стороне BC, и AM ⊥ BC, так как прямая является серединным перпендикуляром отрезка PQ, проходящим через точку A.

2) Медиана BD

Медиана BD — это отрезок, соединяющий вершину B с серединой D стороны AC.

Построение:

  • Проведём окружность с центром в точке A радиусом AC.
  • Проведём окружность с центром в точке C тем же радиусом AC.
  • Пусть эти окружности пересекутся в точках и .
  • Проведём прямую — она пересечёт отрезок AC в его середине, точке D.
  • Проведём отрезок BD — это искомая медиана.

Прямая является серединным перпендикуляром отрезка AC, поэтому D — середина AC, и BD — медиана.

3) Биссектриса CK

Биссектриса CK — это луч, делящий угол C пополам, где K — точка пересечения биссектрисы со стороной AB.

Построение:

  • Проведём окружность произвольного радиуса r с центром в точке C. Пусть она пересечёт стороны CA и CB в точках E и F соответственно.
  • Проведём окружность с центром в точке E радиусом EF.
  • Проведём окружность с центром в точке F тем же радиусом EF.
  • Пусть эти окружности пересекутся в точке G (внутри угла C).
  • Проведём луч CG — он пересечёт сторону AB в точке K.
  • Отрезок CK — искомая биссектриса.

Докажем: CE = CF = r, EG = FG = EF. Треугольники CEG и CFG равны по трём сторонам (CE = CF, EG = FG, CG — общая). Следовательно, ∠ ECG = ∠ FCG, то есть CK — биссектриса угла C.

Задача имеет единственное решение для каждого построения (при данном треугольнике ABC).

Номер 657