Номер / задача 655 страница 169, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть дан произвольный угол A (рис. 1). Требуется разделить его на четыре равные части.

Разделим угол A на четыре равные части, последовательно проводя биссектрисы.

Шаг 1. Построение биссектрисы угла A (деление на 2 равные части).

Проведём окружность произвольного радиуса r с центром в вершине A. Обозначим точки пересечения этой окружности со сторонами угла B и C, так что AB = AC = r.

Проведём окружность радиуса BC с центром в точке B и окружность радиуса BC с центром в точке C. Пусть эти окружности пересекаются в точке D, лежащей внутри угла. Проведём луч AD — это биссектриса угла BAC.

Докажем это. В треугольниках ABD и ACD имеем: AB = AC = r, BD = CD = BC, AD — общая сторона. Следовательно, △ ABD = △ ACD по трём сторонам, откуда ∠ BAD = ∠ CAD.

Шаг 2. Построение биссектрисы угла BAD (деление первой половины пополам).

Аналогичным построением разделим угол BAD пополам. Проведём окружность произвольного радиуса с центром A, отметим точки пересечения со сторонами AB и AD — точки P и Q. Затем проведём окружности радиуса PQ с центрами P и Q. Через точку их пересечения внутри угла BAD и точку A проведём луч AE — биссектрису угла BAD.

Шаг 3. Построение биссектрисы угла DAC (деление второй половины пополам).

Аналогично разделим угол DAC пополам. Получим луч AF — биссектрису угла DAC.

Результат. Лучи AE, AD, AF делят угол BAC на четыре равные части:

Задача имеет единственное решение.