Номер / задача 654 страница 169, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть дан отрезок AB (рис. 1). Надо разделить его на четыре равные части.

Разделим отрезок AB пополам, а затем каждую из полученных половин — ещё раз пополам. Для деления отрезка пополам воспользуемся построением серединного перпендикуляра.

Построение.

1. Проведём окружность с центром в точке A и радиусом AB.

2. Проведём окружность с центром в точке B и радиусом BA.

3. Пусть эти окружности пересекаются в точках P и Q. Проведём прямую PQ. Она пересечёт отрезок AB в точке M — середине отрезка AB.

4. Аналогично построим середину N отрезка AM: проведём окружность с центром A радиуса AM и окружность с центром M радиуса MA; через точки их пересечения проведём прямую, которая пересечёт AM в точке N.

5. Аналогично построим середину L отрезка MB: проведём окружность с центром M радиуса MB и окружность с центром B радиуса BM; через точки их пересечения проведём прямую, которая пересечёт MB в точке L.

Точки N, M, L делят отрезок AB на четыре равные части.

Доказательство. По построению точка M — середина AB, поэтому . Точка N — середина AM, поэтому . Точка L — середина MB, поэтому .

Таким образом, , то есть отрезок AB разделён на четыре равные части.

Задача имеет единственное решение.