Номер / задача 653 страница 169, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение. Дан острый угол ABC и луч DK. Надо построить угол MDK, такой что ∠ MDK = 2∠ ABC.
План построения. Сначала построим угол, равный ∠ ABC, с вершиной в точке D и стороной DK. Затем от полученной второй стороны этого угла отложим ещё один угол, равный ∠ ABC. В результате получим угол, вдвое больший данного.
Построение.
Проведём окружность произвольного радиуса r с центром в точке B. Обозначим точки пересечения этой окружности со сторонами угла ABC через P и Q.
Проведём окружность того же радиуса r с центром в точке D. Пусть она пересекает луч DK в точке N.
Проведём окружность с центром в точке N и радиусом, равным PQ. Она пересечёт окружность с центром D в точке E (выбираем точку по ту сторону от DK, где будем строить угол). Проведём луч DE.
Тогда ∠ EDK = ∠ ABC (по построению, аналогично примеру из параграфа).
Теперь от луча DE отложим ещё один угол, равный ∠ ABC. Проведём окружность радиуса r с центром в точке D (она уже проведена). Обозначим точку пересечения этой окружности с лучом DE через L (заметим, что DL = r = DE, так что L = E).
Проведём окружность с центром в точке E и радиусом, равным PQ. Она пересечёт окружность с центром D в точке M (выбираем точку, лежащую по ту же сторону от луча DE, что и точка E от луча DK, т.е. «дальше» от DK). Проведём луч DM.
Тогда ∠ MDE = ∠ ABC.
Доказательство.
Рассмотрим треугольники BPQ и DEN. По построению: BP = DE = r, BQ = DN = r, PQ = EN. Следовательно, △ BPQ = △ DEN по трём сторонам, откуда ∠ EDK = ∠ PBQ = ∠ ABC.
Аналогично, рассмотрим треугольники BPQ и DME. По построению: BD = DM = r (точка M на окружности с центром D), DE = r, ME = PQ. Следовательно, △ BPQ = △ DME по трём сторонам, откуда ∠ MDE = ∠ ABC.
Тогда:
Исследование. Задача имеет единственное решение (с точностью до выбора полуплоскости относительно луча DK).
Луч DM — искомый. Угол MDK равен удвоенному углу ABC.
