Номер / задача 648 страница 162, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Пусть треугольник ABC — равнобедренный, AB = BC, основание AC. Тогда углы при основании равны: ∠ A = ∠ C = α, а угол при вершине ∠ B = 180° - 2α.

Проведём из вершины A высоту AH на сторону BC, а из вершины C — биссектрису CD угла C. Пусть E — точка пересечения высоты и биссектрисы.

Найдём углы треугольника AEC.

В треугольнике AHC:

• ∠ AHC = 90° (высота),
• ∠ C = α.

Значит, ∠ HAC = 90° - α.

Биссектриса CD делит угол C пополам, поэтому .

Рассмотрим треугольник AEC. В нём:

• ∠ EAC = ∠ HAC = 90° - α,
• ,
• .

Один из углов при пересечении равен 64°. Углы, образовавшиеся при пересечении в точке E, — это и смежный с ним .

Случай 1. — тогда , что невозможно.

Случай 2. — тогда , откуда α = 52°.

Проверка: ∠ A = ∠ C = 52°, ∠ B = 180° - 2 · 52° = 76°.

Углы в точке пересечения: 90° + 26° = 116° и 90° - 26° = 64°. ✓

Ответ: углы треугольника равны 52°, 52° и 76°.