Номер / задача 646 страница 162, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Точки $F$ и $O$ — центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника $ABC$ соответственно (рис. 356). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания $AC$. Найдите углы треугольника $ABC$. Рис. 356: равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $B$ вверху, основанием $AC$; точка $F$ (центр вписанной окружности) расположена внутри треугольника на оси симметрии; точка $O$ (центр описанной окружности) расположена ниже основания $AC$ на оси симметрии.

Решение

Пусть равнобедренный треугольник ABC имеет основание AC и AB = BC. Обозначим ∠ A = ∠ C = α, ∠ B = 180° - 2α.

В равнобедренном треугольнике оба центра (F и O) лежат на серединном перпендикуляре к основанию AC, то есть на оси симметрии, проходящей через вершину B и середину M основания AC.

Расстояние от F до AC.

Центр вписанной окружности F — точка пересечения биссектрис. Расстояние от F до стороны AC равно радиусу вписанной окружности r. Поскольку F лежит на оси симметрии (перпендикуляре BM к AC), расстояние от F до AC — это расстояние от F до прямой AC, то есть длина перпендикуляра из F на AC. Так как F лежит на BM, это расстояние равно FM', где M — середина AC, и BM ⊥ AC. Значит, расстояние от F до AC равно FM, причём F находится выше AC (внутри треугольника), так что .

Расстояние от O до AC.

По рисунку точка O расположена ниже основания AC (вне треугольника). Это происходит, когда ∠ B > 90°. Расстояние от O до прямой AC равно OM, где O тоже лежит на прямой BM.

Пусть AC = 2a, тогда AM = a. Высота BM = h.

Находим FM.

Точка F лежит на BM. Биссектриса угла A проходит через F. Угол между AC и BM в точке M прямой, поэтому в прямоугольном треугольнике AMF: