Номер / задача 645 страница 162, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Построение

Поскольку вершина угла B недоступна, мы не можем непосредственно провести биссектрису из точки B. Воспользуемся свойством вписанной окружности треугольника.

Шаг 1. На одной стороне угла B отметим две произвольные точки A и , а на другой стороне — две произвольные точки C и (все точки выбираем в доступной области, вне «облака»).

Шаг 2. Проведём отрезок AC и получим треугольник ABC (вершина B недоступна, но стороны BA и BC — это данные лучи, а сторона AC проведена нами).

Шаг 3. С помощью транспортира построим биссектрису угла A в треугольнике ABC. Для этого измерим транспортиром угол BAC (угол между стороной AB и отрезком AC) и проведём луч из точки A, делящий этот угол пополам.

Шаг 4. Аналогично построим биссектрису угла C в треугольнике ABC: измерим транспортиром угол BCA и проведём луч из точки C, делящий его пополам.

Шаг 5. Отметим точку O — пересечение построенных биссектрис. По следствию 1 теоремы 22.2 все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Значит, точка O лежит и на биссектрисе угла B.

Шаг 6. Повторим шаги 2-5 для треугольника (проведём отрезок , построим биссектрисы углов и , найдём точку пересечения ). Точка также лежит на биссектрисе угла B.

Шаг 7. Проведём прямую через точки O и . Эта прямая содержит биссектрису угла B.

Обоснование. По следствию 1 из теоремы 22.2 биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке. Поэтому точка пересечения биссектрис углов A и C треугольника ABC обязательно лежит на биссектрисе угла B. То же верно и для треугольника . Две различные точки O и , лежащие на биссектрисе угла B, однозначно определяют прямую, содержащую эту биссектрису.