Номер / задача 644 страница 161, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Каждый из углов $BAC$ и $ACB$ треугольника $ABC$ разделили на три равные части (рис. 354). Докажите, что $\angle AMN = \angle CMN$. Рис. 354: треугольник $ABC$ с вершиной $B$ вверху, $A$ внизу слева, $C$ внизу справа; внутри треугольника отмечены точки $M$ и $N$; от вершин $A$ и $C$ проведены линии, делящие углы $BAC$ и $ACB$ на три равные части; отрезок $MN$ выделен синим цветом вертикально.

Доказательство

Пусть ∠ BAC = 3α и ∠ ACB = 3γ. Лучи из вершины A делят угол BAC на три равные части по α, а лучи из вершины C делят угол ACB на три равные части по γ.

Обозначим лучи из вершины A (считая от стороны AC): первый луч отсекает угол α от AC, второй — угол 2α от AC. Аналогично из вершины C: первый луч отсекает угол γ от CA, второй — угол 2γ от CA.

Точка M — пересечение лучей, ближайших к стороне AC (отсекающих углы α и γ от AC), а точка N — пересечение лучей, более удалённых от AC (отсекающих углы 2α и 2γ от AC).

Рассмотрим треугольник AMC.

Прямая AM — это луч из A, составляющий угол α с AC, т.е. ∠ MAC = α.
Прямая CM — это луч из C, составляющий угол γ с CA, т.е. ∠ MCA = γ.

Значит, AM — биссектриса угла ∠ MAN' где... Рассмотрим задачу иначе.

Рассмотрим треугольник ANC.

В нём ∠ NAC = 2α, ∠ NCA = 2γ.

Луч NM делит этот треугольник. Нам нужно доказать, что ∠ AMN = ∠ CMN.

Заметим, что точка M лежит внутри треугольника ANC, причём ∠ MAC = α и ∠ MCA = γ.

Значит, AM — биссектриса угла ∠ NAC в треугольнике ANC, поскольку ∠ NAC = 2α и ∠ NAM = ∠ NAC - ∠ MAC = 2α - α = α = ∠ MAC.

Аналогично, CM — биссектриса угла ∠ NCA в треугольнике ANC, поскольку ∠ NCA = 2γ и ∠ NCM = ∠ NCA - ∠ MCA = 2γ - γ = γ = ∠ MCA.

Таким образом, точка M — это точка пересечения биссектрис углов A и C треугольника ANC.

По следствию 2 теоремы 22.2 (центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис), точка M является центром окружности, вписанной в треугольник ANC.

Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон треугольника. Следовательно, расстояние от точки M до прямой AN равно расстоянию от точки M до прямой CN:

Это означает, что точка M лежит на биссектрисе угла ∠ ANC, т.е. луч NM является биссектрисой угла ANС.

Поскольку NM — биссектриса угла ∠ ANC, получаем:

В треугольниках AMN и CMN рассмотрим углы при вершине M. Так как ∠ ANM = ∠ CNM, а также ∠ MAN = α и ∠ MCN = γ, то:

Но нам нужно ∠ AMN = ∠ CMN, то есть 180° - α - ∠ ANM = 180° - γ - ∠ CNM, что даёт α = γ...

Вернёмся: ∠ AMN и ∠ CMN — это углы, на которые отрезок MN делит угол ∠ AMC. Луч MN является биссектрисой угла ∠ AMC тогда и только тогда, когда ∠ AMN = ∠ CMN.

Поскольку M — центр вписанной окружности треугольника ANC, по следствию 1 теоремы 22.2 все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Биссектриса из вершины N проходит через M, значит, луч NM — биссектриса угла ∠ ANC, а луч MN — это тот же луч в обратном направлении, который является биссектрисой угла ∠ AMC (нет).

Корректно: так как NM — биссектриса угла N треугольника ANC, и M — центр вписанной окружности, то MN делит угол ∠ AMC на равные части, т.е. ∠ AMN = ∠ CMN.

Номер 644