Номер / задача 642 страница 161, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: В равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$) с основанием 10 см вписана окружность. К этой окружности проведены три касательные, отсекающие от данного треугольника треугольники $ADK$, $BEF$ и $CMN$. Сумма периметров этих треугольников равна 42 см. Чему равна боковая сторона данного треугольника?

Решение

Пусть боковая сторона AB = BC = a, основание AC = 10 см.

Периметр треугольника ABC равен 2a + 10.

Рассмотрим касательные, отсекающие от треугольника ABC три маленьких треугольника: ADK (при вершине A), BEF (при вершине B), CMN (при вершине C).

Воспользуемся свойством касательных, проведённых из одной точки к окружности: отрезки касательных от точки до точек касания равны.

Ключевое свойство. Для каждого из отсечённых треугольников, вписанная окружность исходного треугольника является вписанной окружностью... Нет — она не вписана в малые треугольники. Окружность касается одной стороны малого треугольника (той, что является касательной), а две другие стороны малого треугольника лежат на сторонах исходного треугольника.

Рассмотрим треугольник ADK, отсечённый при вершине A. Его стороны: AD лежит на AB, AK лежит на AC, а DK — касательная к окружности. Окружность касается стороны AB в некоторой точке и стороны AC в некоторой точке, а также касается отрезка DK.

Найдём периметр треугольника ADK:

Пусть окружность касается AB в точке , AC в точке , а DK касается окружности в некоторой точке. Точка D лежит на AB, точка K лежит на AC. Из точки D проведены две касательные к окружности: одна до точки касания на AB (это ), другая до точки касания на DK. Они равны. Аналогично из точки K.