Номер / задача 641 страница 161, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Пусть равносторонний треугольник ABC имеет сторону a, и в него вписана окружность. Проведём касательную к вписанной окружности, которая пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Тогда касательная DE отсекает треугольник ADE.

Так как DE — касательная к вписанной окружности, а стороны AB и AC — тоже касательные к той же окружности, то по свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности:

• Из точки D: , где — точка касания стороны AB с окружностью, T — точка касания DE с окружностью.
• Из точки E: , где — точка касания стороны AC с окружностью.

Найдём периметр треугольника ADE:

Поскольку треугольник ABC — равносторонний, точки касания вписанной окружности делят каждую сторону пополам. Значит, и — отрезки касательных из вершины A к вписанной окружности. По свойству касательных из одной точки:

(так как в равностороннем треугольнике со стороной a полупериметр , и длина касательной из вершины равна ).

Следовательно:

Ответ: периметр отсечённого треугольника равен a.