Номер / задача 640 страница 161, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся стороны $AB$ в точке $M$, $BC = a$. Докажите, что $AM = p - a$, где $p$ — полупериметр треугольника $ABC$.
Доказательство
Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AB в точке M, стороны BC в точке N, стороны AC в точке P.
По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем:
Найдём периметр треугольника ABC:
Так как AM = AP, BM = BN, CP = CN, получаем:
Заметим, что BM + BC + CP = BM + BN + CN + CP. Но BM = BN и CP = CN, поэтому:
Выразим иначе. Запишем:
Поскольку BM = BN и CP = CN, а BN + CN = BC = a, то BM + CP = a. Значит:
Так как 2p = AB + BC + AC, получаем:
Откуда:
Что и требовалось доказать. 
