Номер / задача 639 страница 161, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник прямоугольный.
Доказательство
Пусть окружность с центром O описана около треугольника ABC, и пусть точка O принадлежит стороне AB.
Так как O — центр описанной окружности, то OA = OB = OC = R, где R — радиус окружности.
Поскольку O лежит на стороне AB и OA = OB = R, то AB = OA + OB = 2R, значит, точка O — середина стороны AB.
Рассмотрим треугольник OAC. Так как OA = OC = R, треугольник OAC — равнобедренный, поэтому ∠ OAC = ∠ OCA.
Рассмотрим треугольник OBC. Так как OB = OC = R, треугольник OBC — равнобедренный, поэтому ∠ OBC = ∠ OCB.
Тогда угол C треугольника ABC равен:
По теореме о сумме углов треугольника ABC:
Так как ∠ A = ∠ OAC и ∠ B = ∠ OBC, получаем:
Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный (с прямым углом при вершине C). 
