Номер / задача 638 страница 161, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается его боковых сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что $MN \parallel AC$.
Доказательство
Пусть треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC, т.е. AB = BC. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AB в точке M и стороны BC в точке N.
По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем:
- Из вершины B: BM = BN.
- Из вершины A: AM = AP, где P — точка касания на стороне AC.
- Из вершины C: CN = CP.
Так как AB = BC, то:
Поскольку BM = BN, получаем MA = NC.
Рассмотрим треугольник BMN. Так как BM = BN, треугольник BMN — равнобедренный с основанием MN, поэтому:
Треугольник ABC также равнобедренный (AB = BC), поэтому:
Поскольку ∠ ABС — общий угол для обоих треугольников, а углы при основании равны:
Таким образом, ∠ BMN = ∠ BAC. Эти углы являются соответственными при прямых MN и AC и секущей AB.
Следовательно, MN ∥ AC. 
