Номер / задача 637 страница 161, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Пусть треугольник ABC имеет углы ∠ A = 30°, ∠ B = 70°, ∠ C = 80°, а вписанная окружность с центром O касается сторон AB, BC, CA в точках M, N, P соответственно.

Найдём углы треугольника MNP.

Так как OM ⊥ AB и OP ⊥ CA, четырёхугольник AMOP имеет два прямых угла при M и P. Сумма его углов равна 360°, поэтому:

Треугольник MOP — равнобедренный, так как OM = OP = r. Вписанный угол опирается... Но удобнее воспользоваться тем, что M, N, P лежат на окружности с центром O и радиусом r.

Угол MOP — центральный угол окружности радиуса r, опирающийся на дугу MP. Вписанный угол MNP опирается на ту же дугу MP, поэтому:

Но нужно проверить, что N лежит на большей дуге. Поскольку точка N лежит на дуге, не содержащей дугу MP (по которой идёт центральный угол 150°), вписанный угол равен:

Аналогично найдём ∠ MON и ∠ NOP.

Для угла B = 70°: четырёхугольник BMON имеет прямые углы при M и N, поэтому:

Для угла C = 80°: четырёхугольник CNOP имеет прямые углы при N и P, поэтому:

Проверка: ∠ MOP + ∠ MON + ∠ NOP = 150° + 110° + 100° = 360° ✓

Теперь вписанные углы треугольника MNP (вписанного в окружность радиуса r):

Подождём — сумма должна быть 180°. Пересмотрим: точка P и дуга MN. Центральный угол MON = 110° — это меньшая дуга MN (та, что ближе к B). Точка P лежит на противоположной стороне, значит вписанный угол:

Аналогично:

Проверка: 55° + 75° + 50° = 180° ✓

Ответ: углы треугольника, образованного точками касания, равны 50°, 55° и 75°.