Номер / задача 633 страница 160, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: На рисунке 352 в треугольники $ABD$ и $CBD$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно. Докажите, что угол $O_1DO_2$ прямой.
Рис. 352: треугольник $ABC$ с точкой $D$ на основании $AC$; в треугольник $ABD$ вписана окружность с центром $O_1$, в треугольник $CBD$ вписана окружность с центром $O_2$; $B$ — вершина, $A$, $D$, $C$ — точки на горизонтальной прямой.
Доказательство
Рассмотрим треугольники ABD и CBD с вписанными окружностями с центрами 
и 
соответственно.
По следствию 2 из теоремы 22.2 центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника.
Значит, 
— точка пересечения биссектрис треугольника ABD, поэтому 
— биссектриса угла ADB.
Аналогично, 
— точка пересечения биссектрис треугольника CBD, поэтому 
— биссектриса угла CDB.
Поскольку точка D лежит на отрезке AC, углы ADB и CDB — смежные, то есть:
Тогда:
Следовательно, 
.
Что и требовалось доказать. 
