Номер / задача 632 страница 160, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Доказательство

Пусть O — общий центр вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Так как O — центр описанной окружности, то по следствию 2 теоремы 22.1 точка O является точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника, и

Так как O — центр вписанной окружности, то по следствию 2 теоремы 22.2 точка O является точкой пересечения биссектрис треугольника, и

где OM ⊥ AB, ON ⊥ BC, OP ⊥ AC.

Рассмотрим треугольники OAB и OBC. Имеем:

• OA = OB = OC = R (радиусы описанной окружности),
• OM ⊥ AB и ON ⊥ BC, причём OM = ON = r (радиусы вписанной окружности).

В треугольнике OAB отрезок OM является высотой, опущенной из вершины O на сторону AB. Поскольку OA = OB, треугольник OAB — равнобедренный, и высота OM является одновременно медианой стороны AB. Значит, M — середина AB, и OM — серединный перпендикуляр к AB.

Площадь треугольника OAB равна .

Аналогично, и .

Теперь рассмотрим треугольники OAB, OBC и OAC:

• В треугольнике OAB: OA = OB = R, высота из O равна r. По теореме Пифагора: , и .
• В треугольнике OBC: OB = OC = R, высота из O равна r. Аналогично: .
• В треугольнике OAC: OA = OC = R, высота из O равна r. Аналогично: .

Следовательно,

то есть треугольник ABC — равносторонний.