Номер / задача 631 страница 160, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство

Пусть дан треугольник ABC, в который вписана окружность с центром O, и пусть O принадлежит медиане AM, где M — середина стороны BC.

По следствию 2 теоремы 22.2 центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника. Значит, точка O лежит на биссектрисе угла A.

Таким образом, точка O лежит одновременно на биссектрисе угла A и на медиане AM.

Поскольку O лежит на биссектрисе угла A, луч AO делит угол BAC на два равных угла:

Но луч AO — это тот же луч, что и AM (так как O лежит на отрезке AM). Следовательно:

Итак, медиана AM является одновременно и биссектрисой угла A треугольника ABC.

Докажем, что тогда треугольник ABC равнобедренный. Рассмотрим треугольники ABM и ACM:

BM = MC (так как M — середина BC),
AM — общая сторона,
∠ BAM = ∠ CAM (доказано выше).

По двум сторонам и углу между ними равенство треугольников ещё не следует, поэтому рассуждаем иначе.

Опустим из точки O перпендикуляры на стороны AB и AC: пусть OP ⊥ AB, OQ ⊥ AC. Так как O — центр вписанной окружности, то OP = OQ = r.

Рассмотрим треугольники AOP и AOQ:

OP = OQ = r,
AO — общая гипотенуза,
∠ OPA = ∠ OQA = 90°.

По гипотенузе и катету: △ AOP = △ AOQ. Следовательно, AP = AQ.

Далее, из точки O опустим перпендикуляр ON на сторону BC. Так как O лежит на медиане AM, то O лежит на прямой, проходящей через A и середину M стороны BC. Поскольку ∠ BAM = ∠ CAM и BM = MC, прямая AM является осью симметрии треугольника (если треугольник равнобедренный) — но нам нужно это доказать, а не предполагать.

Рассуждаем так. Обозначим ON ⊥ BC, N — основание перпендикуляра. Так как O лежит на серединном перпендикуляре... Используем другой подход.

Поскольку O лежит на медиане AM, а также на биссектрисе угла A, рассмотрим треугольники ABM и ACM:

∠ BAM = ∠ CAM (биссектриса),
BM = CM (медиана),
AM — общая.

Проведём доказательство от противного. Предположим, что AB ≠ AC. Пусть AB > AC. Тогда в треугольнике ABM по теореме синусов в треугольнике ABM:

а в треугольнике ACM:

Так как BM = CM и ∠ BAM = ∠ CAM, то левые части равны, значит:

Углы ∠ AMB и ∠ AMC — смежные, поэтому sin ∠ AMB = sin ∠ AMC. Тогда AB = AC.

Это противоречит предположению AB ≠ AC.

Следовательно, AB = AC, то есть треугольник ABC — равнобедренный.

Номер 631