Номер / задача 630 страница 160, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Докажите, что если центр вписанной окружности треугольника принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство

Пусть в треугольнике ABC центр вписанной окружности O принадлежит высоте BH, проведённой из вершины B к стороне AC.

По следствию 2 теоремы 22.2 центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника. Значит, точка O лежит на биссектрисе угла B.

Таким образом, точка O принадлежит одновременно биссектрисе угла B и высоте BH, причём обе эти прямые проходят через вершину B. Поскольку через одну точку две различные прямые могут пересекаться только в этой точке, а O ≠ B (центр вписанной окружности лежит внутри треугольника), то биссектриса угла B и высота BH совпадают.

Так как BH — высота, то BH ⊥ AC. Поскольку биссектриса угла B совпадает с BH, она также перпендикулярна AC.

Рассмотрим треугольники BHA и BHC:

BH — общая сторона,
∠ BHA = ∠ BHC = 90° (так как BH — высота),
∠ ABH = ∠ CBH (так как BH — биссектриса угла B).

По второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла) △ BHA = △ BHC.

Из равенства треугольников следует, что BA = BC.

Значит, треугольник ABC — равнобедренный.

Номер 630