Номер / задача 629 страница 160, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Доказательство

Пусть окружность с центром O описана около треугольника ABC, и пусть центр O принадлежит высоте CH, проведённой из вершины C к стороне AB (рис.).

Высота CH перпендикулярна стороне AB, то есть CH ⊥ AB.

Так как O — центр описанной окружности, то OA = OB = OC (радиусы).

Рассмотрим треугольники OHA и OHB. Имеем:

1. OH — общая сторона;
2. ∠ OHA = ∠ OHB = 90° (так как CH ⊥ AB, а точка O лежит на прямой CH);
3. OA = OB (радиусы описанной окружности).

По гипотенузе и катету прямоугольные треугольники OHA и OHB равны. Следовательно, HA = HB.

Рассмотрим теперь треугольники CHA и CHB. Имеем:

1. CH — общая сторона;
2. ∠ CHA = ∠ CHB = 90°;
3. HA = HB (доказано выше).

По двум катетам прямоугольные треугольники CHA и CHB равны. Следовательно, CA = CB.

Таким образом, треугольник ABC — равнобедренный (с основанием AB).