Номер / задача 628 страница 160, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Доказательство

Пусть окружность описана около треугольника ABC, а её центр O принадлежит медиане AM, где M — середина стороны BC.

Центр описанной окружности равноудалён от всех вершин треугольника, поэтому OB = OC.

Рассмотрим треугольники OMB и OMC. Имеем:

1. OB = OC (радиусы описанной окружности);
2. BM = MC (M — середина BC);
3. OM — общая сторона.

По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам) △ OMB = △ OMC.

Из равенства треугольников следует, что ∠ OMB = ∠ OMC. Поскольку углы OMB и OMC — смежные и равны между собой, каждый из них равен 90°. Значит, OM ⊥ BC.

Таким образом, медиана AM перпендикулярна стороне BC, то есть AM является высотой треугольника ABC. Но если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то треугольник равнобедренный. Докажем это:

В треугольниках AMB и AMC:

1. BM = MC (M — середина BC);
2. AM — общая сторона;
3. ∠ AMB = ∠ AMC = 90°.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) △ AMB = △ AMC.

Следовательно, AB = AC, то есть треугольник ABC — равнобедренный.

Что и требовалось доказать.