Номер / задача 627 страница 160, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Через центр $O$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$, провели прямую $AO$, пересекающую сторону $BC$ в точке $M$. Докажите, что точка $M$ равноудалена от лучей $AB$ и $AC$.
Доказательство
Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC. По следствию 2 теоремы 22.2 точка O является точкой пересечения биссектрис треугольника. Значит, прямая AO лежит на биссектрисе угла A, то есть AO — биссектриса угла BAC.
Прямая AO пересекает сторону BC в точке M. Поскольку точка M лежит на луче AO, а луч AO является биссектрисой угла BAC, то точка M принадлежит биссектрисе угла A.
По теореме о биссектрисе угла (теорема 20.2) каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла. Следовательно, точка M, принадлежащая биссектрисе угла BAC, равноудалена от лучей AB и AC.
Что и требовалось доказать. 
