Номер / задача 626 страница 160, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Через центр $O$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, провели прямую, перпендикулярную стороне $AC$ и пересекающую сторону $AB$ в точке $M$. Докажите, что $AM = MC$.

Доказательство

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. По условию через точку O проведена прямая, перпендикулярная стороне AC, которая пересекает сторону AB в точке M.

Так как O — центр описанной окружности, то OA = OC (радиусы). Значит, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC.

Прямая OM перпендикулярна стороне AC. Обозначим точку пересечения прямой OM со стороной AC как H. Тогда OH ⊥ AC.

В равнобедренном треугольнике AOC отрезок OH является высотой, проведённой к основанию AC. По свойству равнобедренного треугольника эта высота является также медианой, то есть AH = HC.

Кроме того, высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является биссектрисой угла при вершине, то есть ∠ AOM = ∠ COH (обозначим этот угол α).

Рассмотрим треугольники AOM и COH:

OA = OC (радиусы описанной окружности);
∠ OMA = 90° и ∠ OHC = 90° (прямая OM перпендикулярна AC, значит MH ⊥ AC, и точка M лежит на этой прямой, поэтому ∠ OHC = 90°; при этом нужно рассмотреть углы аккуратнее).

Применим другой подход. Рассмотрим треугольники OAM и OAH, где H — основание перпендикуляра из O на AC.

Поскольку точки M и H лежат на одной прямой (перпендикулярной AC и проходящей через O), прямая MH перпендикулярна AC.

Рассмотрим треугольник AMC. Прямая MH перпендикулярна AC, где H — точка пересечения MH с AC. Значит, MH — высота треугольника AMC, проведённая из вершины M к стороне AC.

Нужно доказать, что AM = MC. Для этого достаточно показать, что AH = HC, и что MH ⊥ AC — тогда MH будет не только высотой, но и медианой треугольника AMC, а значит, треугольник AMC — равнобедренный с AM = MC.

Мы уже установили, что AH = HC: в равнобедренном треугольнике AOC (OA = OC) высота OH, проведённая к основанию AC, является медианой, поэтому AH = HC.

Итак, в треугольнике AMC отрезок MH перпендикулярен стороне AC и делит её пополам (AH = HC). Значит, MH — серединный перпендикуляр стороны AC треугольника AMC. Любая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от его концов, поэтому MA = MC.

Что и требовалось доказать.

Номер 626