Номер / задача 625 страница 160, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Доказательство

Пусть ABC — равносторонний треугольник со стороной a. Пусть O — центр описанной окружности, R — её радиус, r — радиус вписанной окружности.

По следствиям из теорем 22.1 и 22.2 центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, а центр вписанной — точка пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике серединный перпендикуляр к каждой стороне совпадает с биссектрисой противоположного угла (а также с медианой и высотой). Поэтому центры описанной и вписанной окружностей совпадают в одной точке O.

Проведём медиану AM из вершины A к середине M стороны BC. Тогда AM является одновременно высотой, биссектрисой и серединным перпендикуляром, а точка O лежит на AM.

Найдём длину медианы. Так как AM — высота равностороннего треугольника:

Точка O делит медиану в отношении AO : OM = 2 : 1 от вершины (свойство точки пересечения медиан треугольника). Поэтому:

Найдём отношение:

Значит, R = 2r.

Что и требовалось доказать.