Номер / задача 624 страница 160, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Доказательство

Пусть ABC — равносторонний треугольник, и пусть точка O — центр описанной окружности треугольника ABC.

По следствию 2 теоремы 22.1 точка O — это точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника ABC.

Так как O — центр описанной окружности, то OA = OB = OC.

Покажем, что точка O лежит на биссектрисе угла A. Рассмотрим треугольники AOB и AOC:

1. OB = OC (радиусы описанной окружности),
2. AB = AC (стороны равностороннего треугольника),
3. AO — общая сторона.

По третьему признаку равенства треугольников △ AOB = △ AOC. Следовательно, ∠ OAB = ∠ OAC, то есть AO — биссектриса угла A.

Аналогично, рассматривая треугольники BOA и BOC:

1. OA = OC (радиусы описанной окружности),
2. BA = BC (стороны равностороннего треугольника),
3. BO — общая сторона.

По третьему признаку равенства треугольников △ BOA = △ BOC. Следовательно, ∠ OBA = ∠ OBC, то есть BO — биссектриса угла B.

Таким образом, точка O принадлежит биссектрисам углов A и B. Поскольку биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (следствие 1 теоремы 22.2), то точка O является точкой пересечения всех биссектрис треугольника ABC.

Значит, центр описанной окружности равностороннего треугольника является точкой пересечения его биссектрис.