Номер / задача 619 страница 159, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Докажите, что центр вписанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит высоте, проведённой к его основанию.
Доказательство
Пусть треугольник ABC — равнобедренный, AB = BC, а AC — основание. Проведём высоту BH из вершины B к основанию AC.
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине. Значит, BH — биссектриса угла B.
По следствию 2 из теоремы 22.2 центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника. Пусть O — центр вписанной окружности. Тогда O лежит на каждой биссектрисе треугольника, в частности на биссектрисе угла B.
Поскольку биссектриса угла B совпадает с высотой BH, точка O принадлежит высоте BH.
Что и требовалось доказать. 
