Номер / задача 618 страница 159, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Доказательство

Пусть треугольник ABC — равнобедренный, AB = BC, а AC — основание. Пусть M — середина основания AC, тогда BM — медиана, проведённая к основанию.

Докажем, что центр описанной окружности лежит на прямой BM.

По следствию 2 теоремы 22.1 центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Рассмотрим серединный перпендикуляр l стороны AC. Он проходит через точку M — середину AC — и перпендикулярен AC.

Покажем, что прямая BM является серединным перпендикуляром стороны AC, то есть BM ⊥ AC.

Рассмотрим треугольники ABM и CBM:

• AB = BC (по условию),
• AM = CM (так как M — середина AC),
• BM — общая сторона.

По третьему признаку равенства треугольников △ ABM = △ CBM. Следовательно, ∠ AMB = ∠ CMB. Поскольку углы ∠ AMB и ∠ CMB — смежные и равны между собой, каждый из них равен 90°. Значит, BM ⊥ AC.

Таким образом, прямая BM проходит через середину стороны AC перпендикулярно ей, то есть BM — серединный перпендикуляр стороны AC. Поскольку центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре каждой стороны треугольника, он, в частности, лежит на прямой BM.

Значит, центр описанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит прямой, содержащей медиану, проведённую к основанию.